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2022/23英国数学奥林匹克第1轮试题


发布时间: 2022-11-24 21:53:00    浏览次数:34 次
  1. 一条路上有编号为\(1\sim n\)的房子, 其中\(n\)为三位数. 其中恰有\(\dfrac{1}{k}\)的编号首位为\(2\), \(k\)为正整数. 求\(n\)的所有可能值.

  2. 正整数列\(\big\{a_n\big\}\)满足\(a_1=a\), \(a_2=b\). 且对所有正整数\(n\), 都有\(a_{2n+1}=a_{2n}a_{2n-1}\), \(a_{2n+2}=a_{2n+1}+4\). 设在\(a_1\), \(a_2\), \(\cdots\), \(a_{2022}\)中共有\(m\)个完全平方数, 求\(m\)的最大可能值.

  3. 在非等腰的锐角三角形\(ABC\)中, \(AC\)\(AB\)的中点分别为点\(B_1\)\(C_1\). 点\(D\)在直线\(BC\)上, 且满足\(C\)\(B\)\(D\)之间. 点\(F\)满足\(\angle AFC\)是直角, 且\(\angle DCF=\angle FCA\). 点\(G\)满足\(\angle AGB\)是直角, 且\(\angle CBG=\angle GBA\). 求证: \(B_1\), \(C_1\), \(F\), \(G\)四点共线.

  4. Alex和Katy在一个由\(64\)个单元格组成的\(8\times 8\)正方形网格上做游戏. 两人轮流行动, 从Alex开始. 在Alex的回合, 他在一个空格中写下“A”;在Katy的回合, 她在两个具有公共边的空格中各写下一个“K”. 当一方无法继续时, 游戏结束. Katy的得分为游戏结束时网格中K的个数. 求Katy保证能得到的最高分数.

  5. 对任意整数\(n\geqslant 1\), 考虑一个从\(1\)开始到\(n\)结束, 以互不相同的正整数组成的数列, 满足除最后一项外, 每一项均整除其后一项, 设这样的数列共有\(f\left(n\right)\)个. 求证: 对任意整数\(N\geqslant 1\), 存在整数\(n\geqslant 1\), 使得\(N\)整除\(f\left(n\right)\) (例如: \(f\left(1\right)=1\), \(f\left(2\right)=1\), \(f\left(6\right)=3\)).

  6. \(\Gamma\)的半径为\(1\). 直线\(l\)\(\Gamma\)圆心的距离在\(0\)\(2\)之间. 青蛙在\(\Gamma\)上选取一个到\(l\)距离小于\(1\)的点, 并坐在该点上. 然后青蛙在圆和直线上来回跳跃, 每一跳的距离为1. 如果从\(\Gamma\)起跳, 则必落在\(l\)上, 反之亦然. 求证: 有限次跳跃后, 青蛙能回到初始点.

试题由程国根老师翻译.

点击链接观看视频解答:https://bmos.ukmt.org.uk/solutions/bmo1-2023/

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